e（オイラー数）とは？
e は、関数 eˣ が自分自身の導関数になる唯一の数である。任意の量から出発し、それを年率 100% で連続的に成長させると、ちょうど 1 年後には初めの e 倍になる。他のどの底にもこの自己言及的な性質はない。
n が大きくなるにつれて、この数列は下から e に近づき、2.71828182845904… に収束する。
| n | (1 + 1/n)ⁿ | e との差 |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
複利の解釈では、銀行が年利 100% を支払い、1 年に n 回複利計算すると、残高は (1 + 1/n)ⁿ 倍になる。月複利なら 2.613、毎秒複利なら 2.718、連続複利なら正確に e になる。
x=1 では、曲線の高さも接線の傾きも e ≈ 2.718 に等しい。他の底 b^x にこの性質はない。
ヤコブ・ベルヌーイは 1683 年、複利を研究する中で e を発見した。オイラーは 1731 年にこの数を e と記した。e は無理数（オイラー、1737年）であり、超越数（エルミート、1873年）である。小数展開 2.71828182845904523536… は決して繰り返さない。
元本 $1、年利 100% とすると、月複利で $2.613、日複利で $2.714、毎秒複利で $2.718。n へ ∞ の極限は正確に e である。
e（オイラー数）はおよそ 2.71828182845904523536 である。関数 e^x があらゆる点で自分自身の導関数になる唯一の数である。ヤコブ・ベルヌーイが 1683 年に複利の研究から発見し、レオンハルト・オイラーが 1731 年ごろ e と名付けた。e は無理数（オイラー、1737年）であり、超越数（エルミート、1873年）である。連続的な成長と減衰、自然対数、正規分布、複利、放射性崩壊、そしてオイラーの恒等式 e^(i*pi) + 1 = 0 に現れる。
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
FAQ
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e を発見したのは誰で、いつ頃ですか？
ヤコブ・ベルヌーイが1683年に複利の研究中にこの定数に初めて出会いました。レオンハルト・オイラーは1731年頃から文字 e を使い始め、その性質に関する体系的な結果を初めて発表しました。 -
なぜこの定数は e と呼ばれるのですか？
オイラーが1728年頃の未発表論文で初めて文字 e を使いました。Euler（オイラー）の頭文字か exponential（指数）の頭文字かは議論があります。彼の膨大な出版物の影響でこの表記が定着しました。 -
e が超越数であることはいつ証明されましたか？
シャルル・エルミートが1873年に e は超越数であると証明し、超越性が証明された史上初の数となりました。この成果に触発され、リンデマンが同様の手法で10年後に π の超越性を証明しました。 -
e は金融の分野でどこに現れますか？
連続複利に e が使われます。元本 P を年利 r で t 年間投資すると、価値は P × e^(rt) になります。ヤコブ・ベルヌーイはまさにこの方法——利息を無限回複利にするとどうなるか——でこの定数を見つけました。 -
自然対数とは何で、なぜ自然と呼ばれるのですか？
自然対数（ln）は底を e とする対数です。1/x（最も単純な非自明な関数）の不定積分であることから自然と呼ばれます。この用語はニコラス・メルカトルが1668年の著作『Logarithmotechnia』で導入しました。