O que é e (Número de Euler)?
e é o número único para o qual a função eˣ é igual à sua própria derivada. Comece com qualquer quantidade e deixe-a crescer continuamente a 100% ao ano. Após exatamente um ano, terá e vezes o valor inicial. Nenhuma outra base partilha esta propriedade autorreferencial.
À medida que n cresce, a sequência aproxima-se de e por baixo, convergindo para 2.71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distância até e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
A interpretação pelos juros compostos: se um banco paga 100% de juros anuais mas capitaliza n vezes por ano, o saldo cresce por (1 + 1/n)ⁿ. Com capitalização mensal obtemos 2,613. A cada segundo, 2,718. Com capitalização contínua, obtemos exatamente e.
Em x=1, a altura da curva é e ≈ 2,718 e a inclinação da tangente também é e. Nenhuma outra base b^x tem esta propriedade.
Jacob Bernoulli descobriu e em 1683 ao estudar juros compostos. Euler chamou-lhe e em 1731. É irracional (Euler, 1737) e transcendental (Hermite, 1873). A sua expansão decimal 2.71828182845904523536… nunca se repete.
Começando com $1 a 100% de juros anuais: a capitalização mensal dá $2.613, diária $2.714 e a cada segundo $2.718. O limite quando n para ∞ é exatamente e.
e (número de Euler) é aproximadamente 2.71828182845904523536. É o número único para o qual a função e^x é igual à sua própria derivada em todos os pontos. Jacob Bernoulli descobriu-o em 1683 ao estudar juros compostos. Leonhard Euler deu-lhe o nome e por volta de 1731. e é irracional (Euler, 1737) e transcendental (Hermite, 1873). Aparece no crescimento e decaimento contínuos, nos logaritmos naturais, na distribuição normal, nos juros compostos, no decaimento radioativo e na identidade de Euler e^(i*pi) + 1 = 0.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
FAQ
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Quem descobriu e e quando?
Jacob Bernoulli encontrou a constante pela primeira vez em 1683 ao estudar juros compostos. Leonhard Euler começou a usar a letra e por volta de 1731 e foi o primeiro a publicar resultados sistemáticos sobre suas propriedades. -
Por que a constante é chamada de e?
Euler usou a letra e pela primeira vez em um artigo não publicado por volta de 1728. Se significa Euler ou exponencial é debatido. A designação permaneceu através da influência de sua extensa obra publicada. -
Quando foi provado que e é transcendente?
Charles Hermite provou que e é transcendente em 1873, tornando-o o primeiro número já comprovadamente transcendente. Isso inspirou Lindemann a provar que π é transcendente uma década depois, usando métodos semelhantes. -
Onde e aparece nas finanças?
A capitalização contínua usa e: se você investir um capital P a uma taxa anual r por t anos, o valor é P vezes e^(rt). Jacob Bernoulli encontrou a constante exatamente assim — estudando o que acontece quando os juros são capitalizados infinitas vezes por ano. -
O que é o logaritmo natural e por que é natural?
O logaritmo natural (ln) é o logaritmo na base e. É chamado de natural porque é a antiderivada de 1/x, a função não trivial mais simples. O termo foi introduzido por Nicholas Mercator em sua obra Logarithmotechnia de 1668.
Pi
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