e, 오일러 수란 무엇인가?
e는 함수 eˣ가 자기 자신의 도함수인 유일한 수다. 어떤 양이 있고 그것이 연 100%의 비율로 연속적으로 증가한다고 하자. 정확히 1년 뒤 그 양은 처음의 e배가 된다. 이런 자기참조적 성질을 갖는 밑은 e뿐이다.
n이 커질수록 이 수열은 아래에서부터 e에 가까워지며, 2.71828182845904… 로 수렴한다.
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Abstand zu e |
|---|---|---|
| 1 | 2,000000 | 0,71828 |
| 10 | 2,593742 | 0,12454 |
| 100 | 2,704814 | 0,01347 |
| 1 000 | 2,716924 | 0,00136 |
| 1 000 000 | 2,718281 | 0,0000014 |
| ∞ | 2,71828… | 0 |
복리 해석은 이렇다. 은행이 연 100%의 이자를 주되 1년에 n번 복리로 계산하면 잔액은 (1 + 1/n)ⁿ 만큼 불어난다. 월복리면 2.613, 매초 복리면 2.718에 가깝다. 연속복리를 취하면 정확히 e가 된다.
x=1에서 곡선의 높이는 e ≈ 2.718이고 접선의 기울기도 역시 e다. 어떤 다른 밑 b^x 도 이런 성질을 갖지 않는다.
야코프 베르누이는 1683년 복리를 연구하다가 e를 발견했다. 오일러는 1731년경 이 수에 e라는 이름을 붙였다. e는 무리수(오일러, 1737)이고 초월수(에르미트, 1873)다. 그 소수 전개 2.71828182845904523536… 은 끝나지 않고 반복되지 않는다.
처음 $1에서 연 100% 이자라고 하자. 월복리면 $2.613, 일복리면 $2.714, 매초 복리면 $2.718이다. n (으)로 ∞ 한계가 정확히 e다.
e는 약 2.71828182845904523536이다. eˣ는 모든 점에서 자기 자신의 도함수와 같은 유일한 함수다. 야코프 베르누이는 1683년 복리를 연구하다가 이 수를 발견했고, 레온하르트 오일러는 1731년경 이를 e라고 불렀다. e는 무리수이자 초월수이며, 연속 성장과 감쇠, 자연로그, 정규분포, 복리, 방사성 붕괴, 그리고 오일러의 항등식 e^(iπ)+1=0에 등장한다.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
FAQ
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e를 발견한 사람과 시기는?
야코프 베르누이가 1683년 복리 이자를 연구하던 중 처음 이 상수를 발견했습니다. 레온하르트 오일러는 1731년경부터 문자 e를 사용하기 시작했으며, 그 성질에 대한 체계적인 결과를 처음 발표했습니다. -
이 상수를 e라고 부르는 이유는?
오일러가 1728년경 미발표 논문에서 처음 문자 e를 사용했습니다. Euler(오일러)의 첫 글자인지 exponential(지수)의 첫 글자인지는 논쟁이 있습니다. 그의 방대한 발표 저작의 영향으로 이 표기가 정착되었습니다. -
e가 초월수임이 증명된 시기는?
샤를 에르미트가 1873년에 e가 초월수임을 증명했으며, 이는 초월수로 증명된 최초의 수입니다. 이 증명은 린데만이 유사한 방법으로 10년 후 π의 초월성을 증명하는 데 영감을 주었습니다. -
e는 금융에서 어디에 등장하나요?
연속 복리에서 e가 사용됩니다: 원금 P를 연이율 r로 t년간 투자하면 가치는 P 탑 e^(rt)입니다. 야코프 베르누이가 바로 이 방식으로(이자를 무한히 많은 횟수로 복리할 때 어떻게 되는지 연구하여) 이 상수를 발견했습니다. -
자연로그란 무엇이며, 왜 자연이라고 하나요?
자연로그(ln)는 밑이 e인 로그입니다. 1/x의 역도함수이기 때문에 자연스럽다고 불립니다. 1/x는 가장 단순한 비자명한 함수입니다. 이 용어는 니콜라스 메르카토르가 1668년 저서 Logarithmotechnia에서 도입했습니다.