Czym jest e (liczba Eulera)?
e to jedyna liczba, dla której funkcja eˣ jest swoją własną pochodną. Weź dowolną wielkość i pozwól jej rosnąć ciągle w tempie 100% rocznie. Po dokładnie jednym roku otrzymujesz e razy tyle, ile na początku. Żadna inna podstawa nie ma tej samoodnoszącej się własności.
Gdy n rośnie, ciąg zbliża się do e od dołu, dążąc do 2,71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Odległość od e |
|---|---|---|
| 1 | 2,000000 | 0,71828 |
| 10 | 2,593742 | 0,12454 |
| 100 | 2,704814 | 0,01347 |
| 1 000 | 2,716924 | 0,00136 |
| 1 000 000 | 2,718281 | 0,0000014 |
| ∞ | 2,71828… | 0 |
Interpretacja procentu składanego: jeśli bank płaci 100% rocznie, ale kapitalizuje odsetki n razy w roku, twoje saldo rośnie jak (1 + 1/n)ⁿ. Przy kapitalizacji miesięcznej dostajesz 2,613. Przy kapitalizacji co sekundę · 2,718. Przy kapitalizacji ciągłej otrzymujesz dokładnie e.
Dla x=1 wysokość wykresu wynosi e ≈ 2,718, a nachylenie stycznej również wynosi e. Żadna inna podstawa b^x nie ma tej własności.
Jacob Bernoulli odkrył e w 1683 roku, badając procent składany. Euler nazwał tę liczbę e w 1731 roku. Jest niewymierna (Euler, 1737) i transcendentalna (Hermite, 1873). Jej rozwinięcie dziesiętne 2,71828182845904523536… nigdy się nie powtarza.
Startując od 1 dolara przy 100% rocznie: kapitalizacja miesięczna daje 2,613 dolara, dzienna 2,714, a co sekundę 2,718. Granica dla n do ∞ jest dokładnie równa e.
e (liczba Eulera) wynosi w przybliżeniu 2,71828182845904523536. Jest to jedyna liczba, dla której funkcja e^x jest równa swojej pochodnej w każdym punkcie. Jacob Bernoulli odkrył ją w 1683 roku, badając procent składany. Leonhard Euler oznaczył ją literą e około 1731 roku. e jest niewymierna (Euler, 1737) i transcendentalna (Hermite, 1873). Pojawia się w ciągłym wzroście i zaniku, logarytmach naturalnych, rozkładzie normalnym, procencie składanym, rozpadzie promieniotwórczym oraz w tożsamości Eulera e^(i*pi) + 1 = 0.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
FAQ
-
Kto odkrył e i kiedy?
Jacob Bernoulli po raz pierwszy napotkał tę stałą w 1683 roku, badając procent składany. Leonhard Euler zaczął używać litery e około 1731 roku i jako pierwszy systematycznie opublikował wyniki dotyczące jej własności. -
Dlaczego stała nosi nazwę e?
Euler po raz pierwszy użył litery e w nieopublikowanej pracy około 1728 roku. Czy oznacza ona Eulera, czy funkcję wykładniczą (ang. exponential) - pozostaje kwestią dyskusyjną. Oznaczenie utrwaliło się dzięki wpływowi jego obszernych publikacji. -
Kiedy udowodniono, że e jest liczbą przestępną?
Charles Hermite udowodnił przestępność e w 1873 roku, co uczyniło ją pierwszą liczbą, dla której kiedykolwiek wykazano przestępność. Zainspirowało to Lindemanna do udowodnienia przestępności π dekadę później, przy użyciu podobnych metod. -
Gdzie e pojawia się w finansach?
Ciągła kapitalizacja odsetek wykorzystuje e: jeśli zainwestujesz kapitał P przy rocznej stopie r na t lat, wartość wyniesie P razy e^(rt). Jacob Bernoulli odkrył tę stałą właśnie w ten sposób - badając, co się dzieje, gdy odsetki są kapitalizowane nieskończenie wiele razy w roku. -
Czym jest logarytm naturalny i dlaczego jest naturalny?
Logarytm naturalny (ln) to logarytm o podstawie e. Nazywa się go naturalnym, ponieważ jest funkcją pierwotną 1/x - najprostszej nietrywialnej funkcji. Termin ten wprowadził Nicholas Mercator w swoim dziele Logarithmotechnia z 1668 roku.
Pi
Zapamiętaj pi, e i 38 stałych matematycznych metodą ścieżki na klawiaturze numerycznej
Zagraj teraz - za darmoBez konta. Działa na każdym urządzeniu.