Was ist e, Eulers Zahl?
e ist die einzige Zahl, für die die Funktion eˣ ihre eigene Ableitung ist. Beginnt man mit einem beliebigen Betrag und lässt ihn kontinuierlich mit 100 Prozent pro Jahr wachsen, besitzt man nach genau einem Jahr e-mal so viel wie am Anfang. Keine andere Basis hat diese selbstbezügliche Eigenschaft.
Mit wachsendem n nähert sich die Folge e von unten und konvergiert gegen 2,71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Abstand zu e |
|---|---|---|
| 1 | 2,000000 | 0,71828 |
| 10 | 2,593742 | 0,12454 |
| 100 | 2,704814 | 0,01347 |
| 1 000 | 2,716924 | 0,00136 |
| 1 000 000 | 2,718281 | 0,0000014 |
| ∞ | 2,71828… | 0 |
Die Zinseszins-Interpretation lautet: Zahlt eine Bank 100 Prozent Jahreszins und schreibt n-mal pro Jahr gut, wächst das Guthaben um den Faktor (1 + 1/n)ⁿ. Monatliche Verzinsung ergibt 2,613. Verzinsung in jeder Sekunde ergibt 2,718. Kontinuierliche Verzinsung ergibt exakt e.
Bei x=1 sind sowohl die Höhe der Kurve als auch die Steigung der Tangente gleich e ≈ 2,718. Keine andere Basis b^x besitzt diese Eigenschaft.
Jacob Bernoulli entdeckte e 1683 beim Studium des Zinseszinses. Euler bezeichnete die Zahl 1731 mit e. Sie ist irrational (Euler, 1737) und transzendent (Hermite, 1873). Ihre Dezimalentwicklung 2,71828182845904523536… wiederholt sich nie.
Ausgehend von 1 Euro bei 100 Prozent Jahreszins: monatliche Verzinsung ergibt 2,613, tägliche 2,714, jede Sekunde 2,718. Der Grenzwert für n zu ∞ ist exakt e.
e ist ungefähr 2,71828182845904523536. Es ist die einzige Zahl, für die e^x an jedem Punkt gleich ihrer eigenen Ableitung ist. Jacob Bernoulli entdeckte sie 1683 beim Studium des Zinseszinses. Leonhard Euler gab ihr um 1731 den Namen e. e ist irrational (Euler, 1737) und transzendent (Hermite, 1873). Sie erscheint bei stetigem Wachstum und Zerfall, in natürlichen Logarithmen, in der Normalverteilung, im Zinseszins, beim radioaktiven Zerfall und in Eulers Identität e^(i*pi) + 1 = 0.
Eulers Identität · Ln2 · Taylorreihen
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
FAQ
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Wer hat e entdeckt und wann?
Jacob Bernoulli stieß 1683 erstmals auf die Konstante, als er Zinseszinsrechnung untersuchte. Leonhard Euler begann um 1731, den Buchstaben e zu verwenden, und war der Erste, der systematische Ergebnisse über seine Eigenschaften veröffentlichte. -
Warum heißt die Konstante e?
Euler verwendete den Buchstaben e erstmals in einer unveröffentlichten Arbeit um 1728. Ob er für Euler oder Exponential steht, ist umstritten. Die Bezeichnung setzte sich durch den Einfluss seiner umfangreichen Veröffentlichungen durch. -
Wann wurde bewiesen, dass e transzendent ist?
Charles Hermite bewies 1873, dass e transzendent ist - es war die erste Zahl, deren Transzendenz je bewiesen wurde. Dies inspirierte Lindemann, ein Jahrzehnt später mit ähnlichen Methoden die Transzendenz von π zu beweisen. -
Wo taucht e im Finanzwesen auf?
Stetige Verzinsung verwendet e: Wenn man ein Kapital P zu einem Jahreszins r für t Jahre anlegt, beträgt der Wert P mal e^(rt). Jacob Bernoulli fand die Konstante genau auf diese Weise - indem er untersuchte, was passiert, wenn Zinsen unendlich oft pro Jahr verzinst werden. -
Was ist der natürliche Logarithmus, und warum heißt er natürlich?
Der natürliche Logarithmus (ln) ist der Logarithmus zur Basis e. Er heißt natürlich, weil er die Stammfunktion von 1/x ist, der einfachsten nichttrivialen Funktion. Der Begriff wurde von Nicholas Mercator in seinem Werk Logarithmotechnia von 1668 eingeführt.
Pi
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