什么是 e，欧拉数？
e 是唯一一个使函数 eˣ 等于其自身导数的数。如果你从任意数量开始，以每年 100% 的速率连续增长，那么恰好一年后，你将拥有起初的 e 倍。没有其他底数拥有这种自指性质。
随着 n 增大，这个数列会从下方逼近 e，并收敛到 2.71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | 与 e 的差 |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
复利的解释是这样的：如果一家银行年利率为 100%，并且每年计息 n 次，那么资金就会按 (1 + 1/n)ⁿ 的因子增长。按月计息得到 2.613，按秒计息得到 2.718，而连续计息则恰好得到 e。
在 x=1 处，曲线的高度和切线的斜率都等于 e ≈ 2.718。没有其他底数为 b 的指数函数 b^x 具有这种性质。
Jacob Bernoulli 在 1683 年研究复利时发现了 e。欧拉在 1731 年用字母 e 来表示它。它是无理数（欧拉，1737），也是超越数（Hermite，1873）。它的十进制展开 2.71828182845904523536… 永不重复。
假设本金为 1 欧元、年利率 100%：按月计息得到 2.613，按天计息得到 2.714，每秒计息得到 2.718。当 n 到 ∞ 时，极限恰好是 e。
e 大约等于 2.71828182845904523536。它是唯一一个使 e^x 在每一点都等于其自身导数的数。Jacob Bernoulli 在 1683 年研究复利时发现了它。Leonhard Euler 在 1731 年左右用字母 e 为它命名。e 是无理数（欧拉，1737），也是超越数（Hermite，1873）。它出现在连续增长与衰减、自然对数、正态分布、复利、放射性衰变以及欧拉恒等式 e^(i*pi) + 1 = 0 中。
欧拉恒等式 · Ln2 · 泰勒级数
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
FAQ
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谁发现了 e？是什么时候？
Jacob Bernoulli 于1683年在研究复利时首次遇到了这个常数。Leonhard Euler 大约从1731年开始使用字母 e，并且是第一个系统性地发表其性质的人。 -
这个常数为什么叫 e？
Euler 大约在1728年的一篇未发表的论文中首次使用了字母 e。至于它代表 Euler 还是 exponential（指数），至今仍有争议。这个名称因他大量已发表著作的影响力而沿用至今。 -
e 何时被证明是超越数？
Charles Hermite 于1873年证明了 e 是超越数，使其成为史上第一个被证明为超越数的数。这启发了 Lindemann 在十年后使用类似方法证明 π 也是超越数。 -
e 在金融中出现在哪里？
连续复利使用 e：如果将本金 P 以年利率 r 投资 t 年，其价值为 P 乘以 e^(rt)。Jacob Bernoulli 正是通过这种方式发现了这个常数··研究利息无限次复合时会发生什么。 -
什么是自然对数？为什么它是“自然”的？
自然对数 (ln) 是以 e 为底的对数。它被称为自然对数，因为它是 1/x 的反导数，而 1/x 是最简单的非平凡函数。这个术语由 Nicholas Mercator 在其1668年的著作《Logarithmotechnia》中引入。