ما هو العدد e (عدد أويلر)؟
e هو العدد الوحيد الذي تكون فيه الدالة eˣ مشتقة نفسها. ابدأ بأي مبلغ ودعه ينمو باستمرار بمعدل 100% سنويًا. بعد سنة واحدة بالضبط يصبح لديك e أضعاف ما بدأت به. لا يشترك أي أساس آخر في هذه الخاصية المرجعية الذاتية.
كلما زاد n، تقترب المتتالية من e من الأسفل، متقاربة إلى 2.71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distance to e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
تفسير الفائدة المركبة: إذا دفع بنك فائدة سنوية 100% لكنه ركّبها n مرة في السنة، يزداد رصيدك بمقدار (1 + 1/n)ⁿ. التركيب الشهري يعطي 2.613. التركيب كل ثانية يعطي 2.718. التركيب المستمر يعطي بالضبط e.
عند x=1، ارتفاع المنحنى هو e ≈ 2.718 وميل المماس هو أيضًا e. لا يملك أي أساس آخر bˣ هذه الخاصية.
اكتشف يعقوب بيرنولي العدد e عام 1683 أثناء دراسته للفائدة المركبة. سمّاه أويلر e عام 1731. وهو عدد غير نسبي (أويلر، 1737) ومتسامٍ (إرميت، 1873). توسعه العشري 2.71828182845904523536… لا يتكرر أبدًا.
البدء بدولار واحد بفائدة سنوية 100%: التركيب الشهري يعطي 2.613$، اليومي 2.714$، كل ثانية 2.718$. النهاية عندما n إلى ∞ هي بالضبط e.
e (عدد أويلر) يساوي تقريبًا 2.71828182845904523536. وهو العدد الوحيد الذي تساوي فيه الدالة eˣ مشتقتها عند كل نقطة. اكتشفه يعقوب بيرنولي عام 1683 أثناء دراسة الفائدة المركبة. سمّاه ليونهارد أويلر e حوالي عام 1731. e عدد غير نسبي (أويلر، 1737) ومتسامٍ (إرميت، 1873). يظهر في النمو والاضمحلال المستمرين، واللوغاريتمات الطبيعية، والتوزيع الطبيعي، والفائدة المركبة، والاضمحلال الإشعاعي، ومتطابقة أويلر e^(iπ) + 1 = 0.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
FAQ
-
من اكتشف e ومتى؟
صادف ياكوب برنولي هذا الثابت لأول مرة عام 1683 أثناء دراسة الفائدة المركبة. بدأ ليونهارد أويلر باستخدام الحرف e حوالي عام 1731 وكان أول من نشر نتائج منهجية حول خصائصه. -
لماذا سُمّي الثابت e؟
استخدم أويلر الحرف e لأول مرة في ورقة غير منشورة حوالي عام 1728. يُناقَش ما إذا كان يشير إلى Euler (أويلر) أو exponential (أسّي). رسخت هذه التسمية بفضل أعماله المنشورة الواسعة. -
متى ثبت متعالية e؟
أثبت شارل إرميت أن e متعالٍ عام 1873، مما جعله أول عدد يُثبت أنه متعالٍ على الإطلاق. ألهم هذا ليندمان لإثبات متعالية π بعد عقد باستخدام طرق مماثلة. -
أين يظهر e في التمويل؟
يستخدم التركيب المستمر العدد e: إذا استثمرت رأس مال P بمعدل سنوي r لمدة t سنة، فالقيمة هي P مضروبًا في e^(rt). وجد ياكوب برنولي الثابت بهذه الطريقة بالضبط — بدراسة ما يحدث عند تركيب الفائدة عددًا لا نهائيًا من المرات في السنة. -
ما هو اللوغاريتم الطبيعي، ولماذا يُسمّى طبيعيًا؟
اللوغاريتم الطبيعي (ln) هو اللوغاريتم بأساس e. يُسمّى طبيعيًا لأنه التكامل العكسي لـ 1/x، أبسط دالة غير بديهية. قدّم نيكولاس ميركاتور هذا المصطلح في كتابه Logarithmotechnia عام 1668.
Pi
احفظ باي وe و38 ثابتًا رياضيًا بطريقة المسار على لوحة الأرقام
العب الآن - مجاناًلا حاجة لحساب. يعمل على أي جهاز.