Mi az aranymetszés (φ)?
A φ (fí) az x² = x + 1 egyenlet pozitív megoldása. Ennek geometriai jelentése van: ha egy szakaszt úgy osztunk fel, hogy az egész és a hosszabbik rész aránya megegyezik a hosszabbik és a rövidebbik rész arányával, akkor ez az arány a φ. Egyetlen más számnak sincs ilyen önhasonló tulajdonsága.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| felé ∞ | 1.61803… | 0 |
Az aranymetszés megjelenik a szabályos ötszögben és a pentagrammában, ahol az átlók egymást aranymetszés szerint metszik. Minden Fibonacci-szám az előzővel osztva a φ-hez közelít. Az [1; 1, 1, 1, …] lánctört a legegyszerűbb végtelen lánctört: csupa 1-es. Ettől a φ a legnehezebben törtekkel közelíthető szám, ezért kapta a "legirracionálisabb szám" címet.
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
A φ teljesíti, hogy φ² = φ + 1, tehát φ = 1 + 1/φ. Ezt ismételten behelyettesítve: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Ez a csupa 1-esből álló végtelen lánctört egyszerre a definíció és a "legirracionálisabb" státusz oka. Teljes pontossággal kiszámolva: 1,61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
Az aranymetszés (fí) körülbelül 1,61803398874989484820. Az x² = x + 1 egyenlet pozitív megoldása. A fí irracionális, algebrai, és az egymást követő Fibonacci-számok hányadosának határértéke. Megjelenik a szabályos ötszögben és az ikozaéderben, a napraforgómag-spirálokban, valamint az ókori Görögország óta tanulmányozott arányokban. Az [1; 1, 1, 1, ...] lánctörtje miatt a legnehezebben törtekkel közelíthető valós szám, ezért használja a fillotaxis a fí-ből származtatott aranyszöget.
Aranymetszés φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the másodfokú megoldóképlet.
FAQ
-
Mi az 1/phi?
1/phi = phi - 1 = 0,61803... A Phi az egyetlen pozitív szám, amelynek reciproka egyenlő önmánál eggyel kisebb. Ez azt is jelenti, hogy phi^2 = phi + 1, tehát egy aranyszögű téglalapot egy négyzet és egy kisebb aranyszögű téglalapra lehet osztani a végtelenségig. -
Ki fedezte fel az arányarányt?
Alexandriai Euklidész írta le az Elemek című művében (~300 Kr. e.) a szélső és középarányként. Az arányarányt kifejezést a német matematikus, Martin Ohm alkotta 1835-ben. A \u03C6 görög betűt a 20. század elején a matematikus Mark Barr választotta. -
Mikor kapcsolták össze a Fibonacci-számokat a \u03C6-val?
Leonardo Pisano (Fibonacci) 1202-ben publikálta híres sorozatát nyúl-populációk modellezésére. Johannes Kepler 1611-ben kifejezetten megjegyezte, hogy egymást követő Fibonacci-számok aránya megközelíti a \u03C6-t. -
Valóban megtalálható az arányarány a híres műalkotásokban és épületekben?
A bizonyítékok vegyesek és gyakran túlzók. A Parthenon vagy a reneszánsz festményekben állítottan megtalálható arányarányhoz szelektív mérési módszerekre van szükség. George Markowsky matematikus 1992-ben alapos cáfolatot publikált, bár a természetben való előfordulás jól dokumentált. -
Miért nevezik a \u03C6-t a legirracionálisabbnak?
\u03C6 = [1;1,1,1,...] lánctört alakban - minden tag 1 - ami a leglassabban konvergáló lánctörtet eredményez. A racionális közelítések lassabban konvergálnak a \u03C6-hoz, mint bármely más irracionális számhoz. -
Az arányarány irracionális?
Igen. A \u03C6 kielégíti az x^2 = x + 1 egyenletet. Az ókori görögök tudták, hogy irracionális. A \u03C0 és az e trancendens számokkal ellentétben a \u03C6 algebrai - egy egész együtthatós polinom gyöke.
Pi
Jegyezd meg a pi-t, az e-t és 38 matematikai állandót a számbillentyűzet-útvonal módszerével
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.