什么是黄金比例（φ）？
φ（phi）是方程 x² = x + 1 的正根。这个方程有清晰的几何意义：如果把一条线段分成两部分，使“整体 : 较长部分 = 较长部分 : 较短部分”，那么这个比值就是 φ。没有其他数具有这种完全自相似的性质。
把一条线段分成较长段与较短段，使整体与较长段之比等于较长段与较短段之比，这个比值就是 φ。
| 斐波那契对 | 比值 | 与 φ 的差 |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| 到 ∞ | 1,61803… | 0 |
黄金比例出现在正五边形与五角星中，其中对角线会按黄金比例互相分割。每一个斐波那契数除以前一个数，都会趋近于 φ。连分数 [1; 1, 1, 1, …] 是最简单的无限连分数：全部由 1 构成。这使 φ 成为最难被分数逼近的数，因此常被称为“最无理的数”。
在不断缩小的黄金矩形中画出四分之一圆弧，就会得到常见的“黄金螺旋”近似图形。
φ 满足 φ² = φ + 1，因此 φ = 1 + 1/φ。不断代入可得：φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …))。这个全由 1 组成的无限连分数，既是它的定义，也是它被称为“最无理的数”的原因。高精度数值为：1.61803398874989484820…
在边长为 1 的正五边形中，每条对角线的长度都是 φ ≈ 1.618。画出全部对角线后，会得到处处充满黄金比例的五角星。
黄金比例 φ 约为 1.61803398874989484820，是方程 x² = x + 1 的正根。它是无理数、代数数，也是连续斐波那契数之比的极限。它出现在正五边形、二十面体、向日葵种子的螺旋排列，以及自古希腊以来研究的许多比例结构中。它的连分数 [1; 1, 1, 1, ...] 使它成为最难被分数逼近的实数，因此植物叶序会自然地使用由 φ 导出的黄金角。
黄金比例 φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the 二次公式.
FAQ
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1/phi 是多少？
1/phi = phi - 1 = 0.61803... Phi 是唯一一个其倒数等于自身减一的正数。这也意味着 phi^2 = phi + 1，所以一个黄金矩形可以无限地分割为一个正方形和一个更小的黄金矩形。 -
谁发现了黄金比例？
亚历山大的欧几里得在其《几何原本》（约公元前300年）中将其描述为中末比。“黄金比例”一词由德国数学家 Martin Ohm 于1835年首创。希腊字母 φ 是20世纪初由数学家 Mark Barr 选定的。 -
Fibonacci 数列何时与 φ 建立了联系？
比萨的 Leonardo (Fibonacci) 于1202年发表了他著名的数列来模拟兔子种群。Johannes Kepler 于1611年明确指出连续 Fibonacci 数之比趋近于 φ。 -
黄金比例真的存在于著名的艺术品和建筑中吗？
证据参差不齐，往往被夸大。许多声称在帕台农神庙或文艺复兴画作中的出现需要有选择性地挑选测量数据。数学家 George Markowsky 于1992年发表了详尽的反驳，不过黄金比例在自然界中的真实出现已有充分记录。 -
为什么 φ 被称为最无理的数？
φ = [1;1,1,1,...] 以连分数形式表示··全是1··这使它成为收敛最慢的连分数。有理近似收敛到 φ 的速度比收敛到任何其他无理数都慢。 -
黄金比例是无理数吗？
是的。φ 满足 x^2 = x + 1。古希腊人就知道它是无理数。与 π 和 e 这两个超越数不同，φ 是代数数··整系数多项式的根。