ما هي النسبة الذهبية (φ)؟
φ (فاي) هو الحل الموجب للمعادلة x² = x + 1. لهذه المعادلة معنى هندسي: إذا قسمت قطعة مستقيمة بحيث تكون نسبة الكل إلى الجزء الأطول مساوية لنسبة الجزء الأطول إلى الجزء الأقصر، فإن تلك النسبة هي φ. لا يوجد عدد آخر يملك هذه الخاصية التشابهية الذاتية.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| إلى ∞ | 1.61803… | 0 |
تظهر النسبة الذهبية في المخمس المنتظم والنجمة الخماسية، حيث تتقاطع الأقطار وفق النسبة الذهبية. كل عدد فيبوناتشي مقسومًا على سابقه يقترب من φ. الكسر المستمر [1; 1, 1, 1, …] هو أبسط كسر مستمر لانهائي: جميعه آحاد. وهذا يجعل φ أصعب عدد في التقريب بالكسور، مما أكسبه لقب “أكثر الأعداد لاعقلانية”.
اقطع مربعًا من مستطيل ذهبي. القطعة المتبقية مستطيل ذهبي آخر أصغر بعامل 1/φ. كرر إلى ما لا نهاية. يرسم القوس اللولب الذهبي الذي يُرى في الأصداف والمجرات.
يحقق φ المعادلة φ² = φ + 1، لذا φ = 1 + 1/φ. بالتعويض المتكرر: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). هذا الكسر المستمر اللانهائي المكون كله من آحاد هو في آن واحد التعريف والسبب وراء صفته بأنه “أكثر الأعداد لاعقلانية”. القيمة الدقيقة: 1.61803398874989484820…
في مخمس منتظم طول ضلعه 1، كل قطر طوله φ ≈ 1.618. تقسم الأقطار بعضها البعض أيضًا وفق النسبة الذهبية. ارسم الأقطار الخمسة جميعها وستحصل على نجمة خماسية مليئة بالنسب الذهبية.
النسبة الذهبية φ تساوي تقريبًا 1.61803398874989484820. وهي الحل الموجب للمعادلة x² = x + 1. φ عدد غير نسبي وجبري، وهو النسبة النهائية لأعداد فيبوناتشي المتتالية. يظهر في المخمس المنتظم والعشريني الوجوه، وفي لوالب بذور دوار الشمس، وفي النسب المدروسة منذ اليونان القديمة. كسره المستمر [1; 1, 1, 1, ...] يجعله أصعب عدد حقيقي في التقريب بالكسور، وهذا هو السبب في أن ترتيب الأوراق النباتية يستخدم الزاوية الذهبية المشتقة من φ.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the quadratic formula.
FAQ
-
ما قيمة 1/φ؟
1/φ = φ - 1 = 0.61803... فاي هو العدد الموجب الوحيد الذي يساوي مقلوبه نفسه ناقص واحد. هذا يعني أيضًا أن φ² = φ + 1، لذا يمكن تقسيم المستطيل الذهبي إلى مربع ومستطيل ذهبي أصغر إلى ما لا نهاية. -
من اكتشف النسبة الذهبية؟
وصفها إقليدس الإسكندري في كتابه الأصول (~300 ق.م.) باسم النسبة القصوى والمتوسطة. صاغ الرياضي الألماني مارتن أوم مصطلح النسبة الذهبية عام 1835. اختير الحرف اليوناني φ في أوائل القرن العشرين على يد الرياضي مارك بار. -
متى رُبطت أعداد فيبوناتشي بـ φ؟
نشر ليوناردو البيزي (فيبوناتشي) متتاليته الشهيرة عام 1202 لنمذجة تكاثر الأرانب. لاحظ يوهانس كبلر صراحةً عام 1611 أن نسبة أعداد فيبوناتشي المتتالية تقترب من φ. -
هل توجد النسبة الذهبية فعلًا في الأعمال الفنية والمباني الشهيرة؟
الأدلة مختلطة وغالبًا مبالغ فيها. كثير من الادعاءات حول البارثينون أو لوحات عصر النهضة تتطلب اختيار قياسات انتقائية. نشر الرياضي جورج ماركوفسكي دحضًا شاملًا عام 1992، رغم أن ظهورها الحقيقي في الطبيعة موثّق جيدًا. -
لماذا يُسمّى φ أكثر الأعداد لانسبيةً؟
φ = [1;1,1,1,...] في صيغة الكسر المستمر — جميعها آحاد — مما يجعله أبطأ كسر مستمر في التقارب. تتقارب التقريبات النسبية نحو φ أبطأ من أي عدد غير نسبي آخر. -
هل النسبة الذهبية عدد غير نسبي؟
نعم. يحقق φ المعادلة x² = x + 1. عرف الإغريق القدماء أنه غير نسبي. على عكس π وe اللذين هما متعاليان، فإن φ جبري — أي جذر لكثير حدود ذي معاملات صحيحة.
Pi
احفظ باي وe و38 ثابتًا رياضيًا بطريقة المسار على لوحة الأرقام
العب الآن - مجاناًلا حاجة لحساب. يعمل على أي جهاز.