Wat is de gulden snede (φ)?
φ, uitgesproken als phi, is de positieve oplossing van de vergelijking x² = x + 1. Deze vergelijking heeft een meetkundige betekenis: verdeel je een lijnstuk zo dat het hele lijnstuk zich tot het langere deel verhoudt zoals het langere deel tot het kortere, dan is die verhouding φ. Geen enkel ander getal heeft precies deze zelfgelijkende eigenschap.
| Fib-Paar | Quotient | Abstand zu φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| naar ∞ | 1,61803… | 0 |
De gulden snede verschijnt in de regelmatige vijfhoek en in het pentagram, waar de diagonalen elkaar delen in de verhouding φ. Elk Fibonacci-getal gedeeld door zijn voorganger nadert φ. De kettingbreuk [1; 1, 1, 1, …] is de eenvoudigste oneindige kettingbreuk die er is; hij bestaat alleen uit enen en convergeert precies naar φ.
Snijd je uit een gulden rechthoek een vierkant weg, dan blijft een kleinere gulden rechthoek over, geschaald met factor 1/φ. Herhaal je dit eindeloos, dan tekent de boog de gulden spiraal, zoals in schelpen en sterrenstelsels.
φ voldoet aan φ² = φ + 1 en dus ook aan φ = 1 + 1/φ. Vul je dat steeds opnieuw in, dan krijg je φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Deze oneindige kettingbreuk van uitsluitend enen is zowel een definitie als een reden voor haar reputatie als “meest irrationele” getal. Volledige waarde: 1,61803398874989484820…
In een regelmatige vijfhoek met zijde 1 heeft elke diagonaal lengte φ ≈ 1,618. De diagonalen verdelen elkaar bovendien volgens de gulden snede. Teken je alle vijf diagonalen, dan ontstaat een pentagram vol gulden verhoudingen.
De gulden snede φ is ongeveer 1,61803398874989484820. Ze is de positieve oplossing van x² = x + 1. φ is irrationaal, algebraïsch en de limiet van de quotiënten van opeenvolgende Fibonacci-getallen. Ze verschijnt in de vijfhoek, in het pentagram, in de gulden rechthoek en in talloze groeipatronen. Haar oneindige kettingbreuk bestaat uitsluitend uit enen.
Gulden snede φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the kwadratische formule.
FAQ
-
Wat is 1/phi?
1/phi = phi – 1 = 0,61803... Phi is het enige positieve getal waarvan het omgekeerde gelijk is aan zichzelf min één. Dit betekent ook dat phi² = phi + 1, zodat een gulden rechthoek oneindig vaak verdeeld kan worden in een vierkant en een kleinere gulden rechthoek. -
Wie ontdekte de gulden snede?
Euclides van Alexandrië beschreef de gulden snede in zijn Elementen (~300 v.Chr.) als de uiterste en middelste reden. De term gulden snede werd in 1835 bedacht door de Duitse wiskundige Martin Ohm. De Griekse letter φ werd begin 20e eeuw gekozen door wiskundige Mark Barr. -
Wanneer werden Fibonaccigetallen aan φ gekoppeld?
Leonardo van Pisa (Fibonacci) publiceerde zijn beroemde rij in 1202 om konijnenpopulaties te modelleren. Johannes Kepler merkte in 1611 expliciet op dat de verhouding van opeenvolgende Fibonaccigetallen naar φ convergeert. -
Komt de gulden snede werkelijk voor in beroemde kunstwerken en gebouwen?
Het bewijs is wisselend en wordt vaak overdreven. Veel beweerde voorbeelden in het Parthenon of renaissanceschilderijen vereisen selectieve keuze van maten. Wiskundige George Markowsky publiceerde in 1992 een grondige weerlegging, hoewel echte voorbeelden in de natuur goed gedocumenteerd zijn. -
Waarom wordt φ het meest irrationale getal genoemd?
φ = [1;1,1,1,...] in kettingbreukvorm – uitsluitend enen – wat het de langzaamst convergerende kettingbreuk maakt. Rationale benaderingen convergeren langzamer naar φ dan naar elk ander irrationaal getal. -
Is de gulden snede irrationaal?
Ja. φ voldoet aan x² = x + 1. De oude Grieken wisten al dat het irrationaal was. In tegenstelling tot π en e, die transcendent zijn, is φ algeïsch – een wortel van een veelterm met gehele coëfficiënten.
Pi
Memoriseer pi, e en 38 wiskundige constanten met de cijfertoetsenbordmethode
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.