Apa itu Rasio Emas (φ)?
φ (phi) adalah solusi positif dari x² = x + 1. Persamaan ini punya makna geometris: jika Anda membagi sebuah ruas garis sehingga rasio keseluruhan terhadap bagian yang lebih panjang sama dengan rasio bagian yang lebih panjang terhadap bagian yang lebih pendek, rasio itu adalah φ. Tidak ada bilangan lain yang memiliki sifat serupa-diri seperti ini.
| Pasangan Fib | Rasio | Jarak ke φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| ke ∞ | 1,61803… | 0 |
Rasio emas muncul pada pentagon dan pentagram beraturan, tempat diagonal saling berpotongan menurut rasio emas. Setiap bilangan Fibonacci yang dibagi bilangan sebelumnya mendekati φ. Pecahan berlanjut [1; 1, 1, 1, …] adalah pecahan berlanjut tak hingga paling sederhana: semuanya 1. Inilah yang membuat φ menjadi bilangan yang paling sulit didekati dengan pecahan, sehingga mendapat julukan "bilangan paling irasional".
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ memenuhi φ² = φ + 1, sehingga φ = 1 + 1/φ. Dengan mensubstitusi berulang kali diperoleh: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Pecahan berlanjut tak hingga yang seluruhnya 1 ini sekaligus menjadi definisi dan alasan statusnya sebagai bilangan "paling irasional". Dihitung hingga presisi penuh: 1.61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
Rasio emas phi bernilai sekitar 1,61803398874989484820. Ia adalah solusi positif dari x² = x + 1. Phi bersifat irasional, aljabar, dan merupakan rasio batas dari bilangan Fibonacci yang berurutan. Ia muncul pada pentagon beraturan dan ikosahedron, pada spiral biji bunga matahari, dan dalam proporsi yang dipelajari sejak Yunani kuno. Pecahan berlanjutnya [1; 1, 1, 1, ...] membuatnya menjadi bilangan real yang paling sulit didekati dengan pecahan, sehingga filotaksis menggunakan sudut emas yang diturunkan dari phi.
Rasio Emas φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the rumus kuadrat.
FAQ
-
Apa itu 1/phi?
1/phi = phi − 1 = 0,61803... Phi adalah satu-satunya bilangan positif di mana kebalikannya sama dengan dirinya sendiri dikurangi satu. Ini juga berarti phi² = phi + 1, sehingga persegi panjang emas dapat dibagi menjadi persegi dan persegi panjang emas yang lebih kecil selamanya. -
Siapa yang menemukan rasio emas?
Euklides dari Alexandria mendeskripsikannya dalam Elements-nya (~300 SM) sebagai rasio ekstrem dan mean. Istilah rasio emas diciptakan oleh matematikawan Jerman Martin Ohm pada tahun 1835. Huruf Yunani φ dipilih pada awal abad ke-20 oleh matematikawan Mark Barr. -
Kapan bilangan Fibonacci dihubungkan dengan φ?
Leonardo dari Pisa (Fibonacci) menerbitkan deretan terkenalnya pada tahun 1202 untuk memodelkan populasi kelinci. Johannes Kepler secara eksplisit mencatat pada tahun 1611 bahwa rasio bilangan Fibonacci berurutan mendekati φ. -
Apakah rasio emas benar-benar ditemukan dalam karya seni dan bangunan terkenal?
Buktinya beragam dan sering dilebih-lebihkan. Banyak klaim kemunculan di Parthenon atau lukisan Renaissance membutuhkan pemilihan pengukuran secara selektif. Matematikawan George Markowsky menerbitkan sanggahan menyeluruh pada tahun 1992, meskipun kemunculan asli di alam terdokumentasi dengan baik. -
Mengapa φ disebut bilangan paling irasional?
φ = [1;1,1,1,...] dalam bentuk pecahan kontinu — semuanya angka 1 — menjadikannya pecahan kontinu yang paling lambat konvergen. Pendekatan rasional konvergen lebih lambat ke φ daripada ke bilangan irasional lainnya. -
Apakah rasio emas irasional?
Ya. φ memenuhi x² = x + 1. Bangsa Yunani kuno sudah mengetahui bahwa bilangan ini irasional. Berbeda dengan π dan e yang transendental, φ bersifat aljabar — akar dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat.
Pi
Hafalkan pi, e, dan 38 konstanta matematika dengan metode jalur numpad
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.