Apa itu Konstanta Euler - Mascheroni (γ)?
Deret harmonik 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ divergen, tetapi pertumbuhannya sangat lambat. Setelah sejuta suku, nilainya baru mencapai sekitar 14. Logaritma natural ln(n) tumbuh dengan laju yang sama. Konstanta Euler - Mascheroni γ adalah selisih tepat antara keduanya: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n ke ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ muncul di seluruh analisis dan teori bilangan. Ia menghubungkan deret harmonik dengan fungsi zeta Riemann: γ = -ζ'(1) dalam pengertian formal. Ia muncul pada fungsi Gamma Γ'(1) = -γ, dalam distribusi celah prima, dalam fungsi Bessel, dan dalam ekspansi asimtotik fungsi digamma.
Apakah γ rasional atau irasional adalah salah satu masalah terbuka tertua dalam matematika. Hampir setiap matematikawan percaya bahwa γ transendental, tetapi belum ada buktinya. Bilangan ini telah dihitung hingga lebih dari 600 miliar tempat desimal: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) ke γ.
Konstanta Euler - Mascheroni gamma kira-kira sama dengan 0,57721566490153286060. Apakah ia rasional atau irasional tidak diketahui, dan ini merupakan salah satu masalah terbuka paling terkenal dalam matematika. Euler pertama kali menerbitkannya pada 1734; Mascheroni menghitungnya secara independen pada 1790. Gamma muncul dalam fungsi Gamma, fungsi zeta Riemann, teorema Mertens tentang hasil kali prima, fungsi Bessel, dan distribusi celah prima. Karena tidak ada algoritma streaming yang diketahui, digit-digitnya dihitung terlebih dahulu dan disimpan.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonic-logarithm limit.
FAQ
-
Siapa yang menemukan konstanta Euler-Mascheroni?
Leonhard Euler pertama kali mendeskripsikannya pada tahun 1735 saat mempelajari perbedaan antara deret harmonik dan logaritma natural. Lorenzo Mascheroni menghitungnya hingga lebih banyak tempat desimal pada tahun 1790 dan memberinya simbol γ. -
Apakah γ rasional atau irasional?
Tidak ada yang tahu. Ini adalah salah satu masalah terbuka paling terkenal dalam matematika. Para matematikawan sangat menduga γ adalah bilangan irasional, tetapi tidak ada bukti yang pernah ditemukan meskipun berabad-abad upaya. Bilangan ini telah dihitung hingga lebih dari 600 miliar tempat desimal. -
Apa itu deret harmonik?
Deret harmonik adalah 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Jumlah ini tumbuh tanpa batas — dibuktikan oleh Nicole d’Oresme sekitar tahun 1350 M — tetapi tumbuh sangat lambat. γ mengukur celah yang tepat antara jumlah ini dan ln n saat n menuju tak hingga. -
Mengapa γ dianggap misterius dibandingkan π dan e?
π dan e memiliki makna geometris yang diketahui dan keduanya terbukti transendental. γ muncul dari perbandingan yang lebih halus antara jumlah diskret dan fungsi kontinu. Bahkan sifat paling dasarnya — apakah bisa menjadi pecahan — tetap belum terpecahkan. -
Di mana γ muncul dalam sains?
γ muncul dalam distribusi bilangan prima, dalam fungsi zeta Riemann di dekat s=1, dalam fungsi Gamma pada nilai bilangan bulat, dalam fungsi Bessel yang penting untuk fisika gelombang, dan dalam perhitungan cakupan sinyal antena.
Pi
Hafalkan pi, e, dan 38 konstanta matematika dengan metode jalur numpad
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.