Що таке стала Ейлера-Маскероні (γ)?
Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ розбігається, але зростає неймовірно повільно. Після мільйона членів він ледве сягає 14. Натуральний логарифм ln(n) зростає з тим самим темпом. Стала Ейлера-Маскероні γ - це точна різниця між ними: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n до ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ з'являється всюди в аналізі та теорії чисел. Вона пов'язує гармонічний ряд із дзета-функцією Рімана: γ = -ζ'(1) у формальному сенсі. Вона з'являється в гамма-функції Γ'(1) = -γ, у розподілі проміжків між простими числами, у функціях Бесселя та в асимптотичному розкладі дигамма-функції.
Чи раціональна, чи ірраціональна γ - одна з найстаріших відкритих проблем у математиці. Майже кожен математик вважає, що вона трансцендентна, але доведення не існує. Її обчислено до понад 600 мільярдів десяткових знаків: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) до γ.
Стала Ейлера-Маскероні gamma приблизно дорівнює 0.57721566490153286060. Чи раціональна, чи ірраціональна вона, невідомо - одна з найвідоміших відкритих проблем у математиці. Ейлер уперше опублікував її 1734 року; Маскероні обчислив її незалежно 1790 року. Gamma з'являється в гамма-функції, дзета-функції Рімана, теоремі Мертенса про добутки простих чисел, функціях Бесселя та розподілі проміжків між простими числами. Оскільки потокового алгоритму не існує, її цифри попередньо обчислюють і зберігають.
Стала Ейлера-Маскероні γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the границя гармоніка-логарифм.
FAQ
-
Хто відкрив константу Ейлера · Маскероні?
Леонард Ейлер вперше описав її у 1735 році, досліджуючи різницю між гармонічним рядом і натуральним логарифмом. Лоренцо Маскеробі обчислив її з більшою кількістю десяткових знаків у 1790 році і надав їй символ \u03B3. -
Чи є \u03B3 раціональним чи ірраціональним?
Ніхто не знає. Це одна з найвідоміших нерозв'язаних проблем у математиці. Математики сильно підозрюють, що \u03B3 є ірраціональним, але жодного доказу так і не було знайдено попри століття зусиль. Її обчислено з точністю понад 600 мільярдів десяткових знаків. -
Що таке гармонічний ряд?
Гармонічний ряд · це 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Ця сума необмежено зростає · це довів Ніколь д'Оресм близько 1350 року нашої ери · але зростає дуже повільно. \u03B3 вимірює точний розрив між цією сумою та ln n при зростанні n до нескінченності. -
Чому \u03B3 вважається загадковою порівняно з \u03C0 та e?
\u03C0 та e мають відомі геометричні значення, і обидві доведено трансцендентними. \u03B3 виникає з більш тонкого порівняння між дискретною сумою та неперервною функцією. Навіть її найбазовіша властивість · чи може вона бути дробом · залишається нерозв'язаною. -
Де \u03B3 зустрічається у науці?
\u03B3 зустрічається у розподілі простих чисел, у дзета-функції Рімана поблизу s=1, у гамма-функції при цілих значеннях, у функціях Бесселя, важливих для хвильової фізики, а також у розрахунках покриття сигналу антен.
Pi
Запам'ятовуйте пі, e та 38 математичних констант методом шляху цифровою клавіатурою
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.