ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี (γ) คืออะไร?
อนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ ลู่ออก แต่มันเติบโตช้าอย่างเหลือเชื่อ หลังจากหนึ่งล้านพจน์มันแทบจะถึงแค่ 14 ลอการิทึมธรรมชาติ ln(n) เติบโตในอัตราเดียวกัน ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี γ คือช่องว่างที่แม่นยำระหว่างพวกมัน: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n)
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n ไปยัง ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ ปรากฏทั่วการวิเคราะห์และทฤษฎีจำนวน มันเชื่อมโยงอนุกรมฮาร์มอนิกเข้ากับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์: γ = -ζ'(1) ในเชิงรูปนัย มันปรากฏในฟังก์ชันแกมมา Γ'(1) = -γ, ในการแจกแจงของช่องว่างจำนวนเฉพาะ, ในฟังก์ชันเบสเซล, และในการกระจายเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชันไดแกมมา
คำถามว่า γ เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ เป็นหนึ่งในปัญหาเปิดที่เก่าแก่ที่สุดในคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์เกือบทุกคนเชื่อว่ามันเป็นจำนวนอดิศัย แต่ไม่มีบทพิสูจน์ มันถูกคำนวณได้มากกว่า 6 แสนล้านตำแหน่งทศนิยม: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) ไปยัง γ.
ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี gamma ประมาณ 0.57721566490153286060 คำถามว่ามันเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะยังไม่มีคำตอบ ซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหาเปิดที่โด่งดังที่สุดในคณิตศาสตร์ ออยเลอร์ตีพิมพ์มันครั้งแรกในปี 1734 มาสเชโรนีคำนวณมันอย่างเป็นอิสระในปี 1790 gamma ปรากฏในฟังก์ชันแกมมา, ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์, ทฤษฎีบทเมอร์เทินส์ว่าด้วยผลคูณจำนวนเฉพาะ, ฟังก์ชันเบสเซล, และการแจกแจงของช่องว่างจำนวนเฉพาะ เนื่องจากไม่มีอัลกอริทึมแบบสตรีม หลักของมันจึงถูกคำนวณล่วงหน้าและจัดเก็บไว้
ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the ลิมิตฮาร์มอนิก-ลอการิทึม.
FAQ
-
ใครค้นพบค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเคโรนี?
ลีโอฮาร์ด ออยเลอร์ เป็นผู้บรรยายค่านี้เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1735 ขณะศึกษาความแตกต่างระหว่างอนุกรมฮาร์โมนิกกับลอการิทธมธรรมชาติ ลอเรนโซ มาสเคโรนี คำนวณค่านี้ได้แม่นยำมากขึ้นในปี ค.ศ. 1790 และตั้งสัญลักษณ์ให้เป็น \u03B3 -
\u03B3 เป็นจำนวนตรรกะหรืออตรรกะ?
ไม่มีใครรู้ นี่เป็นหนึ่งในปัญหาเป็นที่รู้จักมากที่สุดในคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์เชื่อมากว่า \u03B3 เป็นจำนวนอตรรกะ แต่ยังไม่เคยพบการพิสูจน์แม้จะพยายามมาหลายศตวรรษ ค่านี้ถูกคำนวณได้มากกว่า 600 พันล้านตำแหน่งทศนิยม -
อนุกรมฮาร์โมนิกคืออะไร?
อนุกรมฮาร์โมนิกคือ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ผลรวมนี้เพิ่มขึ้นไม่มีขีดจำกัด - ถูกพิสูจน์โดยนีโคล ดอเรสมีประมาณ ค.ศ. 1350 - แต่เติบโตช้ามาก \u03B3 วัดช่องว่างที่แม่นยำระหว่างผลรวมนี้กับ ln n เมื่อ n เพิ่มขึ้นเข้าหาอนันต์ -
ทำไม \u03B3 จึงถูกมองว่าเป็นปริศนาเมื่อเทียบกับ \u03C0 และ e?
\u03C0 และ e มีความหมายทางเรขาคณิตที่รู้จักกันและถูกพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนอดิศัยทั้งคู่ \u03B3 เกิดจากการเปรียบเทียบที่ซับซ้อนกว่าระหว่างผลรวมแบบไม่ต่อเนื่องกับฟังก์ชันแบบต่อเนื่อง แม้แต่คุณสมบัติพื้นฐานที่สุดของมัน - ว่ามันเป็นเศษส่วนได้หรือไม่ - ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ -
\u03B3 ปรากฏในทางวิทยาศาสตร์ในที่ใดบ้าง?
\u03B3 ปรากฏในการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ ในฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ใกล้ s=1 ในฟังก์ชันแกมมาที่ค่าจำนวนเต็ม ในฟังก์ชันเบสเซลที่สำคัญต่อฟิสิกส์คลื่น และในการคำนวณพื้นที่ครอบคลุมของสัญญาณเสาอากาศ
Pi
ท่องจำพาย ค่า e และค่าคงตัวคณิตศาสตร์ 38 ตัว ด้วยวิธีเส้นทางบนแป้นตัวเลข
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์