Mi az ln 2 (2 természetes logaritmusa)?
Az ln 2 a 2 természetes logaritmusa: az a kitevő, amelyre az e-t emelni kell, hogy 2-t kapjunk. Geometriailag az y = 1/x görbe alatti területtel egyenlő x = 1-től x = 2-ig. Számszerűen a 2.71828… a 0.69314… hatványra emelve pontosan 2-t ad.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. This is the definition of natural log: ln(a) is the area under 1/x from 1 to a.
Az ln 2 a felezési idő konstansa. Bármely mennyiség, amely rögzített ütemben feleződik, kielégíti az N(t) = N₀ · e^(-λt) összefüggést. A felezési idő t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ. Ez érvényes a radioaktív bomlásra, a gyógyszer véráramból való kiürülésére, a kondenzátor kisülésére és a kávé kihűlésére.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... converges to ln 2 ≈ 0.6931, oscillating around the limit. Convergence is slow: every other term overshoots.
Az ln 2 transzcendens (Lindemann-Weierstrass, 1885). Az információelméletben a natok és bitek között vált: 1 bit = ln(2) nat ≈ 0.693 nat. Az 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ sor pontosan ln 2-höz konvergál. Kiszámítva: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 is the decay constant. After 1 half-life: 50% remains. After 10: 0.1%.
A 2 természetes logaritmusa körülbelül 0.69314718055994530941. Irracionális és transzcendens. Az ln 2 az y = 1/x hiperbola alatti területtel egyenlő x = 1-től x = 2-ig. Minden megkétszereződést és felezést ez szabályoz: egy r ütemben növekvő mennyiség ln(2)/r idő alatt kétszereződik meg. Az információelméletben 1 bit információ ln 2 nattal egyenlő. A számítástechnikában az n érték ábrázolásához szükséges bináris számjegyek száma log₂(n) = ln(n)/ln(2).
2 természetes logaritmusa is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the váltakozó harmonikus sor.
FAQ
-
Ki számította ki először az ln 2-t?
Nicholas Mercator publikálta az 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2 váltakozó sorozatot 1668-as Logarithmotechnia című művében. John Napier 1614-ben találta meg a logaritmusokat, és Euler tisztázta az e alapú összefüggést a 18. században. -
Mi a 70-es szabály?
Ossza el a 70-et a százalékos növekedési ütemmel a megduplázódási idő becsléséhez. 7%-os éves növekedés mellett a megduplázódás körülbelül 70/7 = 10 év. Ez azért működik, mert az ln 2 körülbelül 0,693, így a pontos megduplázódási idő ln 2 / r, és a 69,3 kényelmesen kerekíthető 70-re. -
Miért szerepel az ln 2 minden félési idő képletben?
A felére csökkenő mennyiség kielégíti az e^(-sebesség x idő) = 1/2 egyenletet. A félési idő kifejezése t = ln 2 / sebesség. Ezért tartalmaz minden radioaktív félési idő, gyógyszer-clearance ráta és RC áramkör időállandó ln 2-t. -
Az ln 2 transzcendens?
Igen. A Lindemann-Weierstrass-tétel szerint, ha a nem nulla algebrai szám, akkor e^a transzcendens. Mivel e^(ln 2) = 2 algebrai, az ln 2 nem lehet algebrai - tehát transzcendensnek kell lennie. -
Hogyan kapcsolódik az ln 2 az információelmélethez?
Claude Shannon 1948-as információelméleti cikke megalapozta, hogy egy bináris számjegy (bit) pontosan ln 2 nat entrópiát hordoz. A nat az információ természetes egysége, és az ln 2 a konverziós tényező a bitek és a nats között.
Pi
Jegyezd meg a pi-t, az e-t és 38 matematikai állandót a számbillentyűzet-útvonal módszerével
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.