Ce este ln 2 (logaritmul natural al lui 2)?
ln 2 este logaritmul natural al lui 2: puterea la care trebuie ridicat e pentru a obține 2. Geometric, este egal cu aria de sub curba y = 1/x de la x = 1 la x = 2. Numeric, 2.71828… ridicat la puterea 0.69314… este egal cu exact 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. This is the definition of natural log: ln(a) is the area under 1/x from 1 to a.
ln 2 este constanta timpului de înjumătățire. Orice cantitate care se înjumătățește la o rată fixă satisface N(t) = N₀ · e^(-λt). Timpul de înjumătățire este t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ. Acest lucru se aplică dezintegrării radioactive, eliminării medicamentelor din sânge, descărcării unui condensator și răcirii cafelei.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... converges to ln 2 ≈ 0.6931, oscillating around the limit. Convergence is slow: every other term overshoots.
ln 2 este transcendent (Lindemann-Weierstrass, 1885). În teoria informației convertește între nats și biți: 1 bit = ln(2) nats ≈ 0.693 nats. Seria 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ converge către exact ln 2. Calculat: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 is the decay constant. After 1 half-life: 50% remains. After 10: 0.1%.
Logaritmul natural al lui 2 este aproximativ 0.69314718055994530941. Este irațional și transcendent. Ln 2 este egal cu aria de sub hiperbola y = 1/x de la x = 1 la x = 2. Guvernează fiecare dublare și înjumătățire: o cantitate care crește la rata r se dublează în timpul ln(2)/r. În teoria informației, 1 bit de informație este egal cu ln 2 nats. În informatică, numărul de cifre binare necesare pentru a reprezenta n valori este log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Logaritmul natural din 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the seria armonică alternantă.
FAQ
-
Cine a calculat pentru prima dată ln 2?
Nicholas Mercator a publicat seria alternantă 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2 în lucrarea sa din 1668, Logarithmotechnia. John Napier inventase logaritmii în 1614, iar Euler a clarificat conexiunea cu baza e în secolul al XVIII-lea. -
Ce este Regula lui 70?
Împărțiți 70 la o rată de creștere procentuală pentru a estima timpul de dublare. La o creștere anuală de 7%, dublarea durează aproximativ 70/7 = 10 ani. Aceasta funcționează deoarece ln 2 este aproximativ 0,693, astfel că timpul exact de dublare este ln 2 / r, iar 69,3 se rotuiește convenabil la 70. -
De ce apare ln 2 în fiecare formulă de perioadă de înjumătățire?
O cantitate care descrește cu jumătate satisface e^(-rată x timp) = 1/2. Rezolvând pentru perioada de înjumătățire se obține t = ln 2 / rată. De aceea fiecare perioadă de înjumătățire radioactivă, fiecare rată de eliminare a unui medicament și fiecare constantă de timp a unui circuit RC conține ln 2. -
Este ln 2 transcendent?
Da. Teorema Lindemann-Weierstrass implică faptul că dacă a este un număr algebric nenul, atunci e^a este transcendent. Deoarece e^(ln 2) = 2 este algebric, ln 2 nu poate fi el însuși algebric - deci trebuie să fie transcendent. -
Cum se leagă ln 2 de teoria informației?
Lucrarea lui Claude Shannon din 1948 privind teoria informației a stabilit că o cifră binară (bit) poartă exact ln 2 nats de entropie. Nat este unitatea naturală de informație, iar ln 2 este factorul de conversie între biți și nats.
Pi
Memorează pi, e și 38 de constante matematice cu metoda traseului pe tastatura numerică
Joacă acum - e gratisFără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.