Czym jest √2, pierwiastek z 2?
√2 jest długością przekątnej kwadratu jednostkowego. Jeśli położysz na stole kwadrat o boku długości 1, odległość od jednego wierzchołka do przeciwległego wynosi dokładnie √2. To bezpośrednie zastosowanie twierdzenia Pitagorasa: 1² + 1² = (√2)².
Pitagorejczycy odkryli około 500 r. p.n.e., że √2 nie da się zapisać jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Dowód nie wprost jest elegancki: załóżmy, że √2 = p/q w postaci nieskracalnej. Wtedy 2q² = p², więc p² jest parzyste, a zatem p jest parzyste; piszemy p = 2k. Wówczas 2q² = 4k², więc q² = 2k², a więc q także jest parzyste. To przeczy założeniu, że p/q było nieskracalne. Zatem √2 jest niewymierne.
Kolejne zbieżności z rozwinięcia w ułamek łańcuchowy [1; 2, 2, 2, …]. Każdy ułamek jest najlepszym przybliżeniem wymiernym przy danym mianowniku.
| Ułamek | Liczba dziesiętna | Błąd |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 jest liczbą algebraiczną (spełnia równanie x² = 2), ale niewymierną. W trygonometrii mamy sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Formaty papieru serii A (A4, A3, A2…) używają proporcji 1:√2, tak aby po złożeniu kartki na pół zachować ten sam kształt. Wartość obliczona z pełną dokładnością zaczyna się od 1.41421356237309504880168872…
Każdy trójkąt prostokątny ma jedną przyprostokątną równą poprzedniej przeciwprostokątnej i drugą przyprostokątną równą 1. Długości kolejnych przeciwprostokątnych to √2, √3, √4, √5, …
Pierwiastek z 2 wynosi w przybliżeniu 1.41421356237309504880. Był to pierwszy w historii przykład liczby, której niewymierność udowodniono · zrobili to starożytni Grecy około 500 r. p.n.e. Jest liczbą algebraiczną, ponieważ spełnia równanie x² = 2. Pojawia się jako długość przekątnej kwadratu jednostkowego, w stroju równomiernie temperowanym (każdy półton mnoży częstotliwość przez dwunasty pierwiastek z 2), w wymiarach papieru serii A oraz w twierdzeniu Pitagorasa, gdy obie przyprostokątne są równe.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
FAQ
-
Kto udowodnił, że √2 jest niewymierna?
Pitagorejczycy, prawdopodobnie Hippazos z Metapontu, udowodnili to około 500-450 p.n.e. Odkrycie było szokujące, ponieważ ich filozofia głosiła, że wszystkie wielkości są stosunkami liczb całkowitych. Legenda mówi, że Hippazos został utopiony w morzu za ujawnienie tego dowodu. -
Jak udowodniono niewymierność √2?
Przez sprowadzenie do sprzeczności. Załóżmy, że √2 = p/q w postaci nieskracalnej. Wtedy p² = 2q², więc p jest parzyste - zapiszmy p = 2m. Wtedy 4m² = 2q², czyli q² = 2m², co oznacza, że q też jest parzyste. Ale jeśli oba są parzyste, mają wspólny dzielnik 2, co zaprzecza postaci nieskracalnej. -
Czy starożytne cywilizacje znały √2?
Tak. Babilońska tabliczka YBC 7289 z kolekcji Yale, datowana na około 1800-1600 p.n.e., zawiera przybliżenie √2 dokładne do pięciu miejsc dziesiętnych. Babilończycy obliczali długości przekątnych bez formalnego dowodu niewymierności. -
Dlaczego do formatów papieru serii A wybrano stosunek 1:√2?
Niemiecki inżynier Walter Porstmann sformalizował normę ISO 216 w 1922 roku. Kluczowa obserwacja: jeśli arkusz ma boki w stosunku 1:√2, złożenie go na pół daje arkusz o dokładnie takich samych proporcjach. Pozwala to wszystkim formatom od A0 do A10 współdzielić jeden standard. -
Gdzie jeszcze pojawia się √2 w matematyce?
W trójkącie prostokątnym równoramiennym (45-45-90) przeciwprostokątna jest zawsze √2 razy dłuższa od przyprostokątnych. Przekątna ściany sześcianu jednostkowego wynosi √2. Pojawia się jako ułamek łańcuchowy [1;2,2,2,...] oraz w normalizacji funkcji falowej w mechanice kwantowej.
Pi
Zapamiętaj pi, e i 38 stałych matematycznych metodą ścieżki na klawiaturze numerycznej
Zagraj teraz - za darmoBez konta. Działa na każdym urządzeniu.