Ce este √2 (rădăcina pătrată a lui 2)?
√2 este lungimea diagonalei unui pătrat unitate. Așază un pătrat cu laturile de lungime 1 pe o masă. Distanța de la un colț la colțul opus este exact √2. Aceasta este teorema lui Pitagora: 1² + 1² = (√2)².
Pitagoricienii au descoperit în jurul anului 500 î.Hr. că √2 nu poate fi exprimat ca o fracție p/q unde p și q sunt numere întregi. Demonstrația prin reducere la absurd este elegantă: presupune √2 = p/q în formă ireductibilă. Atunci 2q² = p², deci p² este par, deci p este par, scrie p = 2k. Atunci 2q² = 4k², deci q² = 2k², deci q este de asemenea par. Acest lucru contrazice faptul că p/q este ireductibil. √2 este irațional.
Convergente din fracția continuă [1; 2, 2, 2, …]. Fiecare fracție este cea mai bună aproximare rațională cu acel numitor.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 este algebric (satisface x² = 2) dar irațional. În trigonometrie: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Seria de hârtie A (A4, A3, A2…) folosește raportul 1:√2, astfel încât plierea unei coli în jumătate dă aceleași proporții. Calculat la precizie completă: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
Rădăcina pătrată a lui 2 este aproximativ 1.41421356237309504880. A fost primul număr demonstrat vreodată irațional, de către grecii antici în jurul anului 500 î.Hr. Este algebric, satisfăcând x² = 2. Apare ca lungimea diagonalei unui pătrat unitate, în acordajul muzical în temperament egal (fiecare semiton înmulțește frecvența cu rădăcina de ordinul 12 din 2), în dimensiunile hârtiei din seria A (A4 pliat dă A5, aceleași proporții) și în teorema lui Pitagora ori de câte ori catetele sunt egale.
Rădăcina pătrată a lui 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the fracție continuă.
FAQ
-
Cine a demonstrat că √2 este irațional?
Pitagoreienii, posibil Hippasus din Metapont, au demonstrat acest lucru în jurul anilor 500-450 î.Hr. Descoperirea a fost șocantă, deoarece filosofia lor susținea că toate numerele sunt rapoarte de numere întregi. Legenda spune că Hippasus a fost înecat în mare pentru că a dezvăluit demonstrația. -
Cum a fost demonstrată iraționalitatea lui √2?
Prin contradicție. Presupunem că √2 = p/q în termeni ireductibili. Atunci p^2 = 2q^2, deci p este par · scriem p = 2m. Atunci 4m^2 = 2q^2, deci q^2 = 2m^2, ceea ce înseamnă că q este și el par. Dar dacă ambele sunt pare, ele au un factor comun de 2, contrazicând ipoteza termenilor ireductibili. -
Civilizațiile antice știau despre √2?
Da. Tableta YBC 7289 din Colecția Babiloniană de la Yale, datând din jurul anilor 1800-1600 î.Hr., prezintă o aproximație a lui √2 precisă până la cinci zecimale. Babilonianii calculau lungimile diagonalelor fără nicio demonstrație formală a iraționalității. -
De ce a fost ales raportul 1:√2 pentru dimensiunile hârtiilor A?
Inginerul german Walter Porstmann a standardizat norma germană DIN 476 în 1922 (adoptată ulterior la nivel internațional ca ISO 216 în 1975). Observația cheie, notată pentru prima dată de Lichtenberg în 1786: dacă o foaie are laturile în raport 1:√2, îndoitură jumătate produce o foaie cu exact aceleași proporții. Acest lucru permite tuturor dimensiunilor de la A0 la A10 să împărtășească un singur standard. -
Unde mai apare √2 în matematică?
Într-un triunghi dreptunghic 45-45-90, ipotenusa este întotdeauna √2 ori mai mare decât catetele. Diagonală feței unui cub unit este √2. Apare ca fracția continuă [1;2,2,2,...] și în normalizarea funcției de undă din mecanica cuantică.
Pi
Memorează pi, e și 38 de constante matematice cu metoda traseului pe tastatura numerică
Joacă acum - e gratisFără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.