Co je √2 (druhá odmocnina z 2)?
√2 je délka úhlopříčky jednotkového čtverce. Položte čtverec se stranami délky 1 na stůl. Vzdálenost z jednoho rohu do protilehlého je přesně √2. To je Pythagorova věta: 1² + 1² = (√2)².
Pythagorejci zjistili kolem roku 500 př. n. l., že √2 nelze vyjádřit jako zlomek p/q, kde p a q jsou celá čísla. Důvod sporem je elegantní: předpokládejme √2 = p/q v nejjednodušším tvaru. Pak 2q² = p², takže p² je sudé, tedy p je sudé, zapište p = 2k. Pak 2q² = 4k², takže q² = 2k², takže q je také sudé. To je v rozporu s tím, že p/q je v nejjednodušším tvaru. √2 je iracionální.
Konvergenty z řetězového zlomku [1; 2, 2, 2, …]. Každý zlomek je nejlepší racionální aproximace s daným jmenovatelem.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 je algebraické (splňuje x² = 2), ale iracionální. V goniometrii: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Řada papírů A (A4, A3, A2…) používá poměr 1:√2, takže složení listu na polovinu dává stejné poměry. Vypočítáno s plnou přesností: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
Druhá odmocnina z 2 je přibližně 1.41421356237309504880. Bylo to první číslo, které bylo kdy prokázáno jako iracionální, starověkými Řeky kolem 500 př. n. l. Je algebraické, splňuje x² = 2. Objevuje se jako délka úhlopříčky jednotkového čtverce, v rovnoměrně temperovaném hudebním ladění (každý póltón vynásobí frekvenci 12. odmocninou z 2), v rozměrech papírů řady A (A4 složené dává A5, stejné poměry) a v Pythagorově větě vždy, když jsou odvěsny stejné.
Druhá odmocnina z 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the řetězový zlomek.
FAQ
-
Kdo dokázal, že \u221A2 je iracionální?
Pytagorejci, pravděpodobně Hippasos z Metapontu, to dokázali kolem let 500-450 př. n. l. Objev byl šokující, protože jejich filozofie tvrdila, že všechna čísla jsou poměry celých čísel. Legenda praví, že byl Hippasos potopen na moři za odhalení důkazu. -
Jak byla iracionálnost \u221A2 dokázána?
Důkaz sporem. Předpokládejme, že \u221A2 = p/q v nejmenším zlomku. Pak p^2 = 2q^2, takže p je sudé - označme p = 2m. Potom 4m^2 = 2q^2, tedy q^2 = 2m^2, což znamená, že q je také sudé. Ale pokud jsou obě čísla sudá, sdílejí společný dělitel 2, což odporuje předpokladu nejmenšího zlomku. -
Znaly starověké civilizace \u221A2?
Ano. Tabulka YBC 7289 z babylonské sbírky Yale, datovaná kolem 1800-1600 př. n. l., ukazuje aproximaci \u221A2 přesnou na pět desetinných míst. Babylonští matematičtí vědci počítali délky diagonál bez formálního důkazu iracionálnosti. -
Proč byl poměr 1:\u221A2 zvolen pro formáty papíru A?
Německý inženýr Walter Porstmann formalizoval německý standard DIN 476 v roce 1922 (později přijatý mezinárodně jako ISO 216 v roce 1975). Klíčový nápad, poprvé poznamenaný Lichtenbergem v roce 1786: pokud má list strany v poměru 1:\u221A2, jeho přeložení na polovinu vytvoří list se stejnými proporcemi. To umožňuje, aby všechny velikosti od A0 po A10 sdílely jeden standard. -
Kde se \u221A2 ještě vyskytuje v matematice?
V pravoúhlém trojúhelníku 45-45-90 je přepona vždy \u221A2-krát delší než odvěsny. Diagonála stěny krychle o jednotkové hraně je \u221A2. Vyskytuje se jako řetězový zlomek [1;2,2,2,...] a v normalizaci vlnové funkce v kvantové mechanice.
Pi
Zapamatuj si pí, e a 38 matematických konstant metodou cesty po numerické klávesnici
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.