√2 (2'nin Karekökü) nedir?
√2, birim karenin köşegeninin uzunluğudur. Kenarları 1 uzunluğunda olan bir kareyi masaya koyun. Bir köşeden karşı köşeye olan uzaklık tam olarak √2'dir. Bu, Pisagor teoremidir: 1² + 1² = (√2)².
Pisagorcular MÖ 500 dolaylarında √2'nin, p ve q tam sayı olmak üzere p/q kesri olarak ifade edilemeyeceğini keşfetti. Çelişkiyle kanıt zariftir: √2 = p/q'nun en sade halde olduğunu varsayın. O zaman 2q² = p², dolayısıyla p² çifttir, dolayısıyla p çifttir, p = 2k yazın. O zaman 2q² = 4k², dolayısıyla q² = 2k², dolayısıyla q da çifttir. Bu, p/q'nun en sade halde olmasıyla çelişir. √2 irrasyoneldir.
[1; 2, 2, 2, …] sürekli kesrinden yakınsaklar. Her kesir, o paydayla en iyi rasyonel yaklaşımdır.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 cebirseldir (x² = 2 denklemini sağlar) ama irrasyoneldir. Trigonometride: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. A-kâğıt serisi (A4, A3, A2…) 1:√2 oranını kullanır; böylece bir sayfayı ikiye katlamak aynı oranları verir. Tam hassasiyetle hesaplandı: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
2'nin karekökü yaklaşık 1,41421356237309504880'dir. MÖ 500 dolaylarında antik Yunanlılar tarafından irrasyonel olduğu kanıtlanan ilk sayıydı. Cebirseldir, x² = 2 denklemini sağlar. Birim karenin köşegen uzunluğu olarak, eşit tamperaman müzik akordunda (her yarım ton frekansı 2'nin 12. kökü ile çarpar), A-serisi kâğıt boyutlarında (A4 katlandığında A5 verir, aynı oranlar) ve dik kenarların eşit olduğu her durumda Pisagor teoreminde görünür.
2'nin Karekökü is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the sürekli kesir.
FAQ
-
√2'nin irrasyonel olduğunu kim kanıtladı?
Pisagorcular, muhtemelen Metapontumlu Hippasus, bunu yaklaşık MÖ 500-450 yılları arasında kanıtladı. Bu keşif şok ediciydi çünkü felsefeleri tüm sayıların tam sayıların oranı olduğuna dayanıyordu. Efsaneye göre Hippasus, kanıtı açıkladığı için denizde boğuldu. -
√2'nin irrasyonelliği nasıl kanıtlandı?
Çelişki yoluyla. √2 = p/q en sade haliyle alındığını varsayalım. O zaman p^2 = 2q^2, dolayısıyla p çift sayıdır - p = 2m diye yazalım. Sonra 4m^2 = 2q^2, dolayısıyla q^2 = 2m^2, yani q de çift sayıdır. Ancak her ikisi de çift ise 2 faktörünü paylaşırlar, bu da en saklı hali çürütür. -
Eski medeniyetler √2 hakkında biliyor muydu?
Evet. Yale Babil Koleksiyonu tablet YBC 7289, yaklaşık MÖ 1800-1600 yıllarına tarihlenen, √2'nin ondalık beş basamağa kadar doğru bir yaklaşımını gösteriyor. Babilciler irrasyonelliğin herhangi bir resmi kanıtı olmadan köşegen uzunluklarını hesaplıyorlardı. -
A kağıt boyutları için 1:√2 oranı neden seçildi?
Alman mühendis Walter Porstmann, 1922'de Alman DIN 476 standardını resmileştirdi (daha sonra 1975'te uluslararası olarak ISO 216 olarak kabul edildi). İlk olarak 1786'da Lichtenberg tarafından belirtilen anahtar içgörü: Eğer bir sayfanın kenarları 1:√2 oranındaysa, onu yarıya katlamak tam olarak aynı oranlara sahip bir sayfa üretir. Bu, A0'dan A10'a kadar tüm boyutların tek bir standardı paylaşmasını sağlar. -
√2 matematikte başka nerede görülür?
45-45-90 dik üçgende hipotenüs her zaman kenarların √2 katıdır. Birim küpün yüz köşegeni √2'dir. Sürekli kesir olarak [1;2,2,2,...] şeklinde ve kuantum mekaniği dalga fonksiyonu normalizasyonunda görülür.
Pi
Pi'yi, e'yi ve 38 matematik sabitini tuş takımı yol yöntemiyle ezberle
Şimdi oyna - ücretsizHesap gerekmez. Her cihazda çalışır.