√2(제곱근 2)란 무엇인가?
√2는 단위 정사각형 대각선의 길이다. 한 변의 길이가 1인 정사각형을 놓으면, 한 꼭짓점에서 맞은편 꼭짓점까지의 거리가 정확히 √2다. 이것이 피타고라스 정리다: 1² + 1² = (√2)².
피타고라스 학파는 기원전 500년경 √2를 정수 p, q의 분수 p/q로 나타낼 수 없음을 발견했다. 귀류법 증명은 우아하다: √2 = p/q가 기약분수라고 가정하자. 그러면 2q² = p²이므로 p²은 짝수이고, 따라서 p도 짝수다. p = 2k로 쓰면 2q² = 4k², 즉 q² = 2k²이므로 q도 짝수다. 이는 p/q가 기약분수라는 가정에 모순된다. 따라서 √2는 무리수다.
연분수 [1; 2, 2, 2, …]의 수렴분수. 각 분수는 해당 분모에서 가장 정확한 유리수 근사다.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2는 대수적 수(x² = 2를 만족)이지만 무리수다. 삼각함수에서 sin(45°) = cos(45°) = 1/√2이다. A 용지 규격(A4, A3, A2…)은 1:√2 비율을 사용하여, 반으로 접어도 같은 비율이 유지된다. 정밀값: 1.41421356237309504880168872…
각 직각삼각형은 한 변이 이전 빗변과 같고 한 변이 1이다. 빗변은 √1, √2, √3, √4, √5… 대부분이 무리수다. √2(빨간색)는 기원전 500년경 피타고라스 학파가 처음으로 무리수임을 증명했다.
√2는 약 1.41421356237309504880이다. 기원전 500년경 고대 그리스인이 최초로 무리수임을 증명한 수다. x² = 2를 만족하는 대수적 수이며, 단위 정사각형의 대각선 길이, 평균율 음악 조율(반음마다 주파수에 2의 12제곱근을 곱함), A 용지 규격(A4를 접으면 A5, 같은 비율), 두 변이 같은 직각삼각형의 피타고라스 정리에 나타난다.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
FAQ
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√2가 무리수임을 증명한 사람은?
피타고라스 학파, 아마도 메타폰투의 히파수스가 기원전 500~450년경에 증명했습니다. 모든 수가 정수의 비율이라는 그들의 철학에 충격적인 발견이었습니다. 전설에 따르면 히파수스는 이 증명을 공개한 대가로 바다에 빠져 익사했다고 합니다. -
√2의 무리성은 어떻게 증명되었나요?
귀뮘법으로 증명합니다. √2 = p/q(기약분수)라고 가정합니다. 그러면 p² = 2q²이므로 p는 짝수입니다. p = 2m으로 쓰면 4m² = 2q², 즉 q² = 2m²이므로 q도 짝수입니다. 하지만 둘 다 짝수면 2라는 공통 인수를 공유하므로 기약분수라는 가정에 모순됩니다. -
고대 문명은 √2를 알고 있었나요?
네. 예일대 바빌로니아 컬렉션의 YBC 7289 점토판(기원전 1800~1600년경)은 소수점 다섯째 자리까지 정확한 √2의 근사값을 보여줍니다. 바빌로니아인들은 무리성의 형식적 증명 없이 대각선 길이를 계산했습니다. -
A시리즈 용지에 1:√2 비율이 선택된 이유는?
독일 엔지니어 발터 포르스트만이 1922년에 ISO 216 표준을 공식화했습니다. 핵심 통찰: 변의 비율이 1:√2인 용지를 반으로 접으면 똑같은 비율의 용지가 됩니다. 이로 인해 A0부터 A10까지 모든 크기가 하나의 표준을 공유할 수 있습니다. -
√2는 수학의 다른 어디에 등장하나요?
45-45-90 직각삼각형에서 빗변은 항상 다리의 √2배입니다. 단위 정육면체의 면 대각선은 √2입니다. 연분수 [1;2,2,2,...]로 나타나며, 양자역학의 파동함수 정규화에도 등장합니다.