Czym jest pi (π)?
Pi to stosunek obwodu dowolnego okręgu do jego średnicy. Niezależnie od rozmiaru okręgu ten stosunek jest zawsze dokładnie taki sam: π = 3,14159265358979... Definicja jest geometryczna, ale pi pojawia się w fizyce, rachunku prawdopodobieństwa, inżynierii i w każdej gałęzi matematyki.
Pi nie da się zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych (udowodnił Johann Heinrich Lambert w 1761 roku). Jest też liczbą transcendentalną: nie jest rozwiązaniem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych (udowodnił Ferdinand von Lindemann w 1882 roku). Oznacza to, że niemożliwe jest skwadratura koła przy użyciu cyrkla i linijki. Rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy i nigdy się nie powtarza.
Archimedes z Syrakuz (ok. 250 r. p.n.e.) jako pierwszy ściśle oszacował pi, pokazując, że leży ono między 3+10/71 a 3+1/7 przy użyciu wielokątów wpisanych i opisanych o 96 bokach. Babilończycy używali 3,125, a Egipcjanie 3,1605. Symbol π wprowadził walijski matematyk William Jones w 1706 roku, a Euler uczynił go popularnym. Na rok 2024 obliczono ponad 100 bilionów cyfr liczby pi.
Pi pojawia się daleko poza okręgami: w rozkładzie normalnym (krzywa dzwonowa zawiera √(2π)), w tożsamości Eulera e^(iπ) + 1 = 0, w prawdopodobieństwie, że dwie losowe liczby całkowite nie mają wspólnego dzielnika (6/π²), we wzorze Stirlinga n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, w mechanice kwantowej oraz we wzorze na objętość kuli (4πr³/3).
π ≈ 3,14159265358979323846. Niewymierne (Lambert, 1761). Transcendentalne (Lindemann, 1882). Dzień Pi to 14 marca (3/14 w amerykańskim zapisie daty). Ułamek 22/7 zawyża pi o 0,04%. Lepsze przybliżenie 355/113 jest poprawne do 6 miejsc po przecinku. Nie wiadomo, czy pi jest liczbą normalną (czy każda sekwencja cyfr pojawia się z jednakową częstością), ale powszechnie się w to wierzy.
Archimedes użył wielokątów 96-bocznych, by wykazać 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, czyli 3,1408 < π < 3,1429. Nie obliczył π bezpośrednio, lecz zamknął je w przedziale. Metoda działa, bo obwód okręgu leży między obwodami obu wielokątów.
Pi is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the wzór leibniza.
FAQ
-
Kto odkrył π i kiedy?
Starożytni Egipcjanie i Babilończycy przybliżali π około 1900-1600 p.n.e. Archimedes z Syrakuz (~250 p.n.e.) podał pierwszą rygorystyczną metodę wyznaczania granic tej stałej. Walijski matematyk William Jones wprowadził symbol π w 1706 roku, a Leonhard Euler spopularyzował go na całym świecie. -
Dlaczego 14 marca nazywamy Dniem Liczby Pi?
W amerykańskim formacie daty 14 marca zapisuje się jako 3/14, co odpowiada trzem pierwszym cyfrom π (3,14...). Dzień Liczby Pi został zorganizowany po raz pierwszy przez fizyka Larry'ego Shawa w San Francisco Exploratorium w 1988 roku, a Kongres USA oficjalnie go uznał w 2009 roku. -
Kiedy udowodniono, że π jest liczbą niewymierną?
Johann Heinrich Lambert udowodnił niewymierność π w 1761 roku, co oznacza, że nie można jej zapisać jako prostego ułamka. Matematycy przez wieki posługiwali się przybliżeniami takimi jak 22/7, nie wiedząc, czy dokładny ułamek istnieje. -
Kiedy udowodniono, że π jest liczbą przestępną?
Ferdinand von Lindemann udowodnił przestępność π w 1882 roku. Rozstrzygnęło to starożytny grecki problem kwadratury koła - skonstruowania kwadratu o tym samym polu co koło za pomocą cyrkla i linijki - udowadniając, że jest to niemożliwe. -
Jaki wzór służy do obliczania π z dokładnością do miliardów cyfr?
Współczesne obliczenia wykorzystują wzór Chudnovsky'ego oraz wzór Baileya-Borweina-Plouffe'a (BBP). Wzór BBP (opublikowany w 1995 roku) pozwala obliczyć dowolną cyfrę szesnastkową π bezpośrednio, bez obliczania cyfr poprzedzających.
Pi
Zapamiętaj pi, e i 38 stałych matematycznych metodą ścieżki na klawiaturze numerycznej
Zagraj teraz - za darmoBez konta. Działa na każdym urządzeniu.